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996worker

祇園精舎の鐘の聲, 諸行無常の響き有り。

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数理逻辑常用恒等式

996worker
2021-08-04 / 0 评论 / 0 点赞 / 149 阅读 / 694 字
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本文最后更新于 2021-08-22,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

常用

Absorption

  • P ∧ P ≡ P
  • P ∨ P ≡ P

Commutativity

  • P ∧ Q ≡ Q ∧ P
  • P ∨ Q ≡ Q ∨ P

Associativity

  • P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
  • P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R

Distributivity

  • P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
  • P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

Double negation

  • P ≡ ¬¬P

De Morgan

  • ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
  • ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

Implication

  • P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q

Contraposition

  • ¬P ⇒ ¬Q ≡ Q ⇒ P
  • P ⇒ ¬Q ≡ Q ⇒ ¬P
  • ¬P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ P

Bi implication

  • P ⇔ Q ≡ (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)
  • A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

去除异或

  • A ⊕ B ≡ (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B)

永真式和永假式相关恒等式

Let ⊥ be any unsatisfiable formula(永假式) and let ⊤ be any valid formula(永真式), then:

Duality

  • ¬⊤ ≡ ⊥
  • ¬⊥ ≡ ⊤

Negation from absurdity

  • P ⇒ ⊥ ≡ ¬P

Identity

  • P ∨ ⊥ ≡ P
  • P ∧ ⊤ ≡ P

Dominance

  • P ∧ ⊥ ≡ ⊥
  • P ∨ ⊤ ≡ ⊤

Contradiction

  • P ∧ ¬P ≡ ⊥

Excluded middle

  • P ∨ ¬P ≡ ⊤

谓词逻辑

  • ∃x (¬F1) ≡ ¬∀x F1
  • ∀x (¬F1) ≡ ¬∃x F1
  • ∃x (F1 ∨ F2 ) ≡ (∃x F1) ∨ (∃x F2)
  • ∀x (F1 ∧ F2 ) ≡ (∀x F1) ∧ (∀x F2)
  • ∃x (F1 ⇒ F2 ) ≡ (∀x F1) ⇒ (∃x F2)

如果G不含x

  • ∃x G ≡ G
  • ∀x G ≡ G
  • ∃x (F ∧ G) ≡ (∃x F) ∧ G
  • ∀x (F ∨ G) ≡ (∀x F) ∨ G
  • ∀x (F ⇒ G) ≡ (∃x F) ⇒ G
  • ∀x (G ⇒ F) ≡ G ⇒ (∀x F)
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