概念

• 单射（injection）：每一个x都有唯一的y与之对应；

• 满射（surjection）：每一个y都必有至少一个x与之对应；

• 双射（又叫一一对应，bijection）：每一个x都有y与之对应，每一个y都有x与之对应。

例子

今天，把x比作萝卜，y比作坑：

• 单射就是一个萝卜一个坑，有的坑有可能没萝卜；

• 满射就是所有坑都有萝卜，有的坑可能有不止一个萝卜；

• 双射就是严格的一个萝卜一个坑，一个坑一个萝卜，所有萝卜都有坑，所有坑都有萝卜。

符号化表示

injection:
$$\displaystyle \forall a,b\in X,;;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$$

surjection:
$$\forall y\in Y,,\exists x\in X,;;f(x)=y$$

bijection:
$$\displaystyle \forall y\in Y,\exists !x\in X{\text}y=f(x)$$

where $\displaystyle \exists !x$ means there exists exactly one x.

For all functions, the following holds:
$$\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y{\text}y=f(x).$$